El álgebra es una de las ramas de la matemática que, para dar una definición simple, se vale de tres elementos para resolver operaciones: números, letras, y también signos. Tales elementos, inicialmente, se entendían como números (es decir, cantidades), lo que le valió al álgebra la comparación con la aritmética, como si fuese una subárea de ella. Sin embargo, hay que comprender que en aritmética solo se trabaja con números y operaciones fundamentales, mientras que el álgebra incorpora los tres elementos mencionados al principio que se emplean para representar, por ejemplo, variables y coeficientes. Veamos un ejemplo:

2y = 18

En este caso, la variable, es decir, el símbolo, es “y” (puede ser “y”, puede ser “z”, “x”… es, básicamente, la letra mediante la cual se representa la incógnita, el número que desconocemos y que intentaremos descubrir al resolver la ecuación). El coeficiente, por otra parte, es el número que multiplica a esta variable, es decir, 2 en este caso.

Ahora bien: en este artículo nos sumergiremos en la historia del álgebra, el personaje inicial de su historia, algunos conceptos claves para aproximarnos a esta noción y también describiremos algunos ejemplos de esta increíble rama de las matemáticas.

Cálculos
Fórmula matemática.

Breve historia del álgebra.

Para remontarnos a la historia del álgebra deberemos tener en cuenta el origen del término. El vocablo álgebra posee su origen en el árabe «al-jabr» (o «al-gabr», dependiendo de cómo se ha transcrito al español), y puede traducirse como “recomposición de las partes de algo que se ha roto”. Esta palabra aparece en el «Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī» que se ha traducido al español como “Compendio de cálculo por reintegración y comparación”, un tratado redactado durante los primeros años del siglo IX por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi, también conocido como Al-Khwarizmi o Al-Juarismi (de donde también proviene el término «algoritmo»). En él, el autor se valió de trabajos anteriores sobre matemáticas, y la intención era, como el título lo indica, hacer un compendio y recopilar los saberes conocidos hasta aquel momento.

Si bien en su significado original “álgebra” remitía a la recomposición de huesos, eventualmente, y gracias a su uso en este libro, tomó el significado con el que hoy lo conocemos. Así, el término “al-jabr” puede pensarse en lo que consideraríamos una transposición de los términos en una ecuación para luego simplificarlos mediante cálculos. Entonces, podríamos deducir que el título del libro remite a “restauración” e “igualación”, o resolución de ecuaciones: devolver el orden, de cierto modo.

Pero regresemos a la obra de este autor.

Su compendio de álgebra consiste, básicamente, en la exposición de ecuaciones y fórmulas sencillas para reducir algunos cálculos a sus elementos más simples. Tengamos en cuenta que el proceso de formular ecuaciones y sus resoluciones implica poder siempre tratar de simplificar la labor de quien debe resolverlos, y, por ende, de aplicar una suerte de economía que facilite tal trabajo: reducir los caminos hacia resoluciones compactas y de uso general para abrirse a nuevos datos, muchos más complejos, con parte del camino ya resuelto, es el objetivo.

 Al-Khwarizmi
Al-Khwarizmi, matemático persa.

Lo que Al-Khwarizmi logra es sistematizar ecuaciones cuadráticas, además de reglas y formas de resolverlas, dado que las ha clasificado en seis tipos. Para tener en cuenta, diferenciemos los dos grandes estilos de ecuaciones:

  • Ecuación de primer grado (o ecuación lineal): ecuación que implica únicamente sumas y restas de variable a la primera potencia. Implica generalmente despejar la incógnita que abarca, y puede contener paréntesis o fracciones.
  • Ecuación de segundo grado: es aquella ecuación en la que el mayor exponente en la incógnita va a ser dos (tras que se simplifica). Por ejemplo:

ay2 + by + c = 0

En tal ecuación, “y” es la variable, y “a”, “b” y “c” son sus coeficientes.

Hay que comprender que, si bien las ecuaciones de primer y segundo grado ya se trabajaban e intentaban resolver tanto en Egipto como en Babilonia (desde muchos siglos atrás), con este autor se sistematiza en una obra que es fundamental para futuros estudios y para las matemáticas.

A continuación daremos un breve aunque detallado panorama general de algunos de los conceptos elementales para esta área de las matemáticas.

Algunos conceptos claves del álgebra.

Término algebraico.

Esto se define como toda expresión algebraica, muy simple, donde sus variables no se suman ni se restan. Veamos a continuación un ejemplo:

-3z²

Ahora, descompondremos este término algebraico en sus cuatro componentes:

  • Signo: puede ser positivo o negativo, como en este ejemplo (negativo).
  • Coeficiente: también denominado parte numérica, es el símbolo reconocido, y que acompaña a la variable. Aquí es 3.
  • Variable: como hemos mencionado anteriormente en el artículo, es la parte representada con una letra, y es la incógnita; en este caso, es “z”.
  • Exponente: es el número al que la variable se eleva. En este caso es el 2, pero si no figura ningún exponente, significa que es simplemente 1.

Expresión algebraica.

Esta es el conjunto de variables, números y símbolos que están relacionados entre sí gracias a operaciones aritméticas como sumas, restas o multiplicaciones. Se conforma de términos, y, puede ser algo como el siguiente ejemplo:

-6x²+4z

En función de la cantidad de términos que tenga, puede clasificarse de la siguiente manera:

  • Monomio: tiene un solo término. Un ejemplo sería: 5y.
  • Binomio, formado de 2 términos: 2×2-7y (o como el del ejemplo).
  • Trinomio, conformado por 3 términos: 3z²+4y+6z.
  • Polinomio, formado por 3 o más términos: 5x²-4z+5y-8.

Ecuaciones algebraicas.

Además de las ecuaciones de primer y segundo grado que se han mencionado más arriba, encontramos otros tipos de ecuaciones también:

  • Ecuación logarítmica: su incógnita (o incógnitas) será hallada tras multiplicar, o dividir, a los logaritmos en sus bases o, también, en el argumento de los logaritmos (dentro de ellos). Por ejemplo, en log² (2x + 4) = 3, la solución es que x=2 —la incógnita está, en este caso, en el argumento—.
  • Ecuación exponencial: aquí, la incógnita está en los exponenciales, es decir, el número al cual el coeficiente es elevado. Un ejemplo sería 2x+2 = 16 .
  • Ecuación fraccionaria: Es una ecuación que tiene, como indica su nombre, fracciones algebraicas, es decir, donde la variable aparecerá en al menos uno de los denominadores de las fracciones. Por ejemplo, en 2x / (2 + √x), tenemos un monomio como numerador (numerador es la parte superior de una fracción) y un binomio como denominador.
  • Ecuación polinómica: en este caso, hay igualdad entre ambas partes de la ecuación (que se relacionan, por ende, con el signo igual o =), pero con la particularidad de que al menos uno de los términos de cada lado es un polinomio (3 términos o más). Además, según el grado que tengan (el exponente) pueden considerarse de primer grado, o de segundo grado o cuadrática, de tercer grado o cúbica, cuártica o de cuarto grado, entre otras. Un ejemplo de ecuación polinómica lineal (de primer grado) será el siguiente:

13z – 18 = 4z

La solución a esto se obtendrá pasando los términos con incógnita a un mismo lado (juntándolos mediante las operaciones inversas) y así, “despejada” la x, se resolverá esta ecuación que tiene una única respuesta x=2. En otras ecuaciones, como las de segundo grado, y en función de sus elementos, puede haber más de una resolución.

Citar este artículo

Fernández, A. M. (26 de noviembre de 2021). Definición de álgebra. Etimología, historia y conceptos. Definicion.com. https://definicion.com/algebra/