Definición de reductio ad absurdum

Del latín “reducción al absurdo”, es un procedimiento lógico que consiste en refutar un enunciado a partir de llevarlo al absurdo, con el fin de probar la proposición contraria. Se trata de un tipo de deducción que busca dar una prueba indirecta de un argumento mediante la demostración de que el argumento opuesto es contradictorio y, por lo tanto, lleva a un absurdo. El absurdo de (-A) prueba indirectamente la veracidad de (A).

La reductio ad absurdum es un método ampliamente desarrollado en filosofía, lógica y matemática. En los tres casos, consiste en un proceso deductivo aplicado para demostrar la validez o invalidez de proposiciones categóricas, utilizando una vía indirecta: una proposición que no puede ser falsa, es considerada necesariamente verdadera.

La estrategia argumentativa ad absurdum equivale a suponer verdadera o falsa una hipótesis, para luego demostrar que conlleva a un absurdo o paradoja que no puede considerarse verdadera, ya que se contradice a sí misma. Así, el procedimiento consiste en suponer la veracidad o falsedad de una proposición y, a partir de una serie de inferencias lógicas válidas, llegar a una contradicción con la hipótesis principal (sea verdadera o falsa). La contradicción lleva a un absurdo, por lo que se infiere la validez de la hipótesis contraria.

Existen dos posibles resultados al aplicar ad absurdum:

1. En el primer caso, se presupone la hipótesis como verdadera. Si hay una forma lógica de llegar a contradecir tal hipótesis, tal contradicción demuestra que el enunciado es falso.
2. En el segundo caso, se presupone la hipótesis como falsa. Si existe una forma lógica de contradecirla, el absurdo demuestra que la proposición es verdadera.

Así, la reductio ad absurdum prueba la “veracidad” de un enunciado de forma indirecta, no por sí mismo, sino por la negación de su opuesto. La prueba ad absurdum dice que un enunciado es verdadero porque “no puede ser de otra manera” o porque “no se puede probar su falsedad”.

Este método también es conocido como argumento por contradicción, ya que mediante la contradicción se busca probar la validez o invalidez de un razonamiento. Esta razón parte de dos principios básicos de la lógica proposicional: el principio de no-contradicción, que dice que una afirmación no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo y en el mismo sentido, y el principio del tercero excluido, según el cual, una proposición que “no puede ser falsa” es considerada necesariamente verdadera y, viceversa, un enunciado que “no puede ser verdadero”, es considerado necesariamente falso. De esta manera, se excluyen las “terceras opciones” y se pasa de la veracidad de una proposición a la falsedad de la otra.

Para ilustrar el argumento ad absurdum exponemos el siguiente ejemplo extraído del diálogo de Platón, Teeteto:

Sócrates toma la siguiente hipótesis como verdadera:

El conocimiento es percepción.

Luego, mediante un procedimiento lógico logra refutar tal afirmación, haciéndola ver como contradictoria, de la siguiente manera:

Si el conocimiento es percepción, en el caso de que una persona se quede ciega, aunque recordara lo que haya visto, ya no podría decir que conoce lo que recuerda.

El ejemplo sirve para hacer que la hipótesis suene absurda, de manera que Sócrates concluye:

El conocimiento no es percepción.

Ad absurdum en lógica.

En el ámbito de la lógica, el procedimiento ad absurdum se desprende del mismo concepto de validez lógica que define un razonamiento válido: «Todo argumento que contenga premisas verdaderas no puede tener una conclusión que sea falsa». Inversamente, si el razonamiento tiene una conclusión falsa, entonces, o es inválido, o alguna de las premisas debe ser necesariamente falsa. A partir de esta definición, el argumento ad absurdum se sigue de las propias reglas de inferencia de la lógica proposicional, por lo tanto se considera un razonamiento deductivo válido para la demostración de proposiciones y tesis. En este sentido, la reducción al absurdo puede comprenderse como una instancia propia del método conocido como Modus tollens, el cual consiste en inferir la negación del antecedente a partir de la negación del consecuente, a la inversa del Modus ponens que afirma el consecuente a partir de la verdad del antecedente.

En lógica proposicional, el modus tollens y el modus ponens son reglas de inferencia válidas como razonamientos deductivos. La operación argumentativa de la reductio ad absurdum toma la forma indirecta del modus tollens para demostrar, a partir de la falsedad del consecuente (-B), la falsedad del antecedente (-A).

En un razonamiento lógico, existen dos elementos básicos: la premisa (A), llamada antecedente, y la conclusión (B), llamada consecuente. El modus tollens es un procedimiento válido que permite extraer la falsedad del antecedente (-A), a partir de obtener la falsedad del consecuente (-B). Teniendo el siguiente silogismo: Si A es verdadero, entonces B es verdadero (A→B). Pero B es falso (-B). Entonces, A también es falso (-A). La fórmula puede resumirse de la siguiente manera: “Si A entonces B, pero no B, entonces no A”.

Estructura lógica:

• Si A es verdadero, entonces B es verdadero. (A→B)
• Pero B es falso. (-B)
• Entonces, A es falso. (-A)

En el caso de que (A→B) tenga un mayor número de premisas (A1, A2, A3, etc.), la reducción al absurdo permite suponer que alguna de ellas debe ser necesariamente falsa. En caso de ser todas verdaderas, por regla lógica, resulta imposible que la conclusión sea falsa, por lo tanto: «la conclusión es verdadera». Sin embargo, en caso de tener alguna de las premisas falsas ¿Cómo es posible asociar tal falsedad al supuesto «A» descartando el resto de las premisas? Recordemos que el ad absurdum busca refutar la hipótesis principal (A). Esto se logra a partir de un segundo movimiento argumentativo conocido como silogismo disyuntivo, según el cual a partir de una disyunción (A o B), teniendo la negación de B, entonces, podemos obtener A. Su estructura se expresa así:

• O A es verdadero o B es verdadero. (A v B)
• B es falso. (-B)
• Entonces, A es verdadero. (A)

Así la reductio ad absurdum, extrae la falsedad de A a partir de compararla con la veracidad de A1, A2, A3, etc. Si todas las premisas auxiliares son verdaderas, entonces la hipótesis principal (A) debe ser necesariamente falsa.

De manera que, el argumento ad absurdum queda explicado a partir de la aplicación de dos reglas válidas de la lógica proposicional: modus tollens y silogismo disyuntivo. Lo cual permite una justificación válida para rechazar una proposición en los argumentos ad absurdum.

Finalmente, la reductio ad absurdum no debe confundirse con la falacia de apelación al ridículo, también conocida como falacia del hombre de paja, la cual consiste en ridiculizar de forma inválida el argumento del oponente, no mediante una forma lógica como el argumento ad absurdum, sino mediante la exageración o ridiculización de la tesis original.

¿Qué es el absurdo?.

El argumento ad absurdum parte del concepto de «lo absurdo», y a partir de él tiene sentido todo su razonamiento. Como técnica argumentativa, la reductio parte de la idea preconcebida de una «proposición absurda». Pero ¿A qué llamamos absurdo? ¿Cómo se define en lógica una «proposición absurda»? Normalmente, decimos que una proposición es absurda cuando contradice algo que es evidente por sí mismo, que nos resulta obvio de forma intuitiva y unánime. Pero ¿A qué llamamos «algo evidente por sí mismo»? ¿Qué es «algo obvio»? ¿Cómo se define una «proposición evidente»? Según la definición de Bruce Russell: «Una proposición evidente es aquella que inmediatamente resulta verdadera para cualquiera que la entienda de forma adecuada». Por ejemplo: Si decimos, «El pez vuela en el aire», rápidamente esta afirmación nos parece un absurdo, ya que resulta evidente que «El pez no vuela sino que nada, y no lo hace a través del aire sino en el agua». Lo cual hace que la proposición «El pez vuela en el aire» sea considerada inmediatamente absurda.

De esta manera, los conceptos de «proposición absurda» y «proposición evidente» constituyen el sentido del argumento ad absurdum, ya que su característica principal consiste en suponer verdadero un enunciado con el fin de llevarlo a una contradicción con un enunciado evidente, lo cual da como resultado que el primer enunciado deriva en un absurdo y, por lo tanto, puede ser refutado lógicamente.

Tipos de reductio ad absurdum.

Ahora bien, existen dos tipos de enunciados que pueden ser considerados «evidentes»: aquellos que resultan evidentes por la experiencia son llamados a posteriori, y aquellos otros que son considerados evidentes a partir de la razón son llamados a priori o, también, auto-evidentes. En el primer caso, la evidencia es extraída de la experiencia empírica (sabemos que el pez nada y no vuela por haberlo visto). En el segundo caso, la evidencia es extraída de las razones lógicas (sabemos que un triángulo tiene tres ángulos porque en eso consiste su propia definición). De manera que, la reductio ad absurdum puede derivarse en dos tipos, a partir de qué clase de evidencia (a priori o a posteriori) utilice para alcanzar el absurdo. La reductio que deriva el absurdo de una evidencia empírica es una reductio a posteriori, y la que deriva el absurdo de una evidencia conceptual es una reductio a priori.

Principios lógicos vinculados con el ad absurdum.

El argumento ad absurdum es considerado un procedimiento válido de argumentación debido a que se sigue de ciertos principios básicos de la lógica clásica o lógica proposicional. A continuación, explicaremos brevemente en qué consiste cada uno:

• Ley de la no contradicción: Es el principio fundante de la lógica proposicional. Consiste en considerar inválida toda proposición que sea contradictoria. El principio de no contradicción dice que «un enunciado no puede ser verdadero y falso al mismo tiempo y en el mismo sentido». Así, una proposición (A) y su negación (-A) no pueden establecerse ambas como verdaderas en el mismo sentido y en un mismo enunciado. Su expresión lógica es la siguiente: -(A y -A), que significa que «es falsa toda proposición que contenga A y -A al mismo tiempo y en el mismo sentido». Aristóteles fue el primero en establecer este principio como regla fundamental de la lógica clásica.
• Ley del tercio excluido: Principio que se desprende de la ley de no contradicción, fue propuesto por Aristóteles y forma parte de las reglas básicas de la lógica proposicional. El principio del tercero excluido dice que «dadas dos proposiciones contradictorias entre sí (A) y (-A), una de las dos debe ser necesariamente falsa y la otra verdadera, excluyendo así las terceras opciones». En lógica proposicional, el tercero excluido se expresa como una disyunción excluyente: (A v -A). De modo que, si (A) es verdadero, entonces (-A) es necesariamente falso, y viceversa.
• Ley de identidad: Principio fundamental de la lógica clásica, consiste en establecer que toda proposición o entidad es idéntica a sí misma y esto no puede ser de otro modo. El principio postula que, en todos los casos, (A) es idéntico a (A). En lógica de predicados, el principio de identidad se expresa de la siguiente manera: (Vx) x=x, que significa: «Para todo x, x es igual a sí mismo». La expresión «para todo x» significa que para cualquier cosa dada, esta cosa siempre es idéntica a sí misma. Por ejemplo, Sócrates es idéntico a Sócrates, el Sol es idéntico al Sol, el 1 es idéntico al 1, etc.
• Principio de razón suficiente: Este principio se basa en la idea de que toda entidad o suceso tiene una razón suficiente que explica que sea así y no de otra manera. El principio de razón suficiente establece que «todo tiene una explicación» y que dicha explicación es la razón del porqué de la cosa. Así, todo hecho que se considere «verdadero» debe tener una razón suficiente que lo explique. La reductio ad absurdum puede utilizar este principio como método de demostración mediante la contraposición con una «razón suficiente».

Ad absurdum en matemática.

En matemática, la reducción al absurdo es utilizada como método de demostración para probar la verdad de una proposición matemática a partir de demostrar que si no fuera verdadera, se llegaría a un absurdo. Por lo que se concluye que la proposición es necesariamente verdadera.

Para extraer una prueba válida, el procedimiento argumentativo ad absurdum debe demostrar que dada una afirmación (A), si suponemos su negación (-A), esto nos llevaría a un absurdo. De manera que debemos concluir que A es una verdad necesaria.

En lógica matemática, la técnica de reductio ad absurdum es utilizada frecuentemente como método demostrativo por la mayoría de las escuelas y corrientes matemáticas. El matemático británico Harold Hardy habló de la técnica ad absurdum con las siguientes palabras: «La reducción al absurdo, tan amada por Euclides, es una de las mejores herramientas de la matemática. Es mucho mejor movimiento que cualquier gambito de ajedrez. Un ajedrecista puede sacrificar un peón u otra pieza, pero un matemático pone en juego la partida completa».

No obstante, desde la perspectiva de la lógica intuicionista, el principio de tercero excluido no es válido, por lo que tampoco se acepta la validez de la reducción al absurdo, ya que esta se basa sobre el tercero excluido.

Dos ejemplos de ad absurdum en lógica matemática.

• Infinitos números primos: La primera versión de este argumento fue propuesta por Euclides en su libro Elementos, la proposición 20 dice: «Hay una mayor cantidad de números primos que cualquier cantidad que haya sido alguna vez pensada». Con este axioma, Euclides busca demostrar la infinitud de los números primos, aplicando la reductio ad absurdum: Primero supone la versión contraria del enunciado: «Los números primos son finitos», estableciendo así una cantidad finita de números primos, la cual llamaremos (n). Luego, con el fin de llegar a una contradicción, Euclides suma 1 al conjunto finito de números primos (n + 1). La cantidad total de números primos más 1, da un número (m), el cual no es un número primo, por ende, (m) debe ser divisible por un número primo. Si se realiza la división de (m) por cualquier número primo del conjunto (n), el resto da 1. Por lo tanto, debe existir al menos un número primo que no está integrado a la lista (n). Así, Euclides logra llegar a una contradicción y prueba que la tesis «Los números primos son finitos», es falsa. Por lo tanto, «Los números primos son infinitos».
• 2 + 2 = 5: Gottlob Frege, en su obra Fundamentos de la aritmética, utiliza la reducción al absurdo para refutar una idea ampliamente aceptada en el ámbito de la filosofía de las matemáticas durante el XIX, planteada desde el psicologismo, según la cual, los números se reducen a imágenes mentales y los principios matemáticos a leyes sobre la mente humana. Para refutar esta tesis, Frege argumenta que si el psicologismo fuese verdadero, en caso de que propusiéramos la siguiente verdad a priori: «2 + 2 = 4» (esta afirmación es considerada evidente y verdadera), cuando se investigue el pensamiento matemático de una época lejana, nos daríamos cuenta que la matemática no tiene leyes fijas, sino que va cambiando conforme la evolución de la sociedad y la mente humana. De manera que, en otro tiempo, la evidencia: «2 + 2 = 4», es falsa, ya que antiguamente, el pensamiento común era que «2 + 2 = 5» y, además, si siguiéramos con el pensamiento psicologista, podríamos decir que, posiblemente, en un futuro, la prueba matemática evolucione a «2 + 2 = 3». Así, Frege llega a un absurdo, por lo que queda refutada la teoría psicologista de las matemáticas.

Las paradojas y el absurdo.

La definición y estructura de la paradoja resulta similar, en muchos aspectos, con el absurdo. Muchas veces, los filósofos utilizan paradojas para llevar al absurdo una posición con el fin de afirmar otra postura, o para demostrar el error de determinada posición filosófica. Así, la paradoja suele ser una figura retórica que se vincula con la estrategia argumentativa de la reductio ad absurdum. A continuación, expondremos brevemente algunas paradojas de la historia de la filosofía:

Paradojas de Zenón.

Zenón de Elea fue un filósofo antiguo seguidor de la doctrina de Parménides, quién postuló que «el movimiento y el cambio en el mundo son imposibles y responden a una mera ilusión de los sentidos». Para respaldar esta postura, Zenón ingenió diversas paradojas orientadas a demostrar el absurdo de la idea del cambio y el movimiento en el mundo:

• Paradoja de la flecha: Esta paradoja plantea una aporía en relación a la treyectoria de una flecha que es disparada hacia un objetivo. Zenón arguye que si subdividiéramos infinitesimalmente las instancias del «movimiento» de la flecha, nos daríamos cuenta que, en realidad, «la flecha no se mueve», su movimiento es imposible, debido a que permanece en una posición y orientación fija, más allá del tiempo. A partir de este absurdo, la paradoja de Zenón demuestra que el «movimiento» y el «tiempo» son imposibles.
• Paradoja de Aquiles y la tortuga: En esta paradoja, Zenón afirma que, en una carrera, el corredor más rápido (Aquiles) no es capaz de alcanzar al más lento (la tortuga). La paradoja consiste en que Aquiles le concede una pequeña ventaja a la tortuga al iniciar la carrera, la cual intentará alcanzar a lo largo de la competencia. Sin embargo, debido a un cálculo infinitesimal que subdivide las instancias, la diferencia entre Aquiles y la tortuga se vuelve cada vez más mínima, pero irreductible, llevando así a un absurdo o aporía: «Aquiles jamás podrá alcanzar a la tortuga». Esta aporía, es una prueba indirecta del absurdo de la idea del movimiento en el espacio y el tiempo.

Paradoja de la omnipotencia.

Se llama paradoja de la omnipotencia a un conjunto diverso de paradojas o aporías que están orientadas a problematizar el concepto de «omnipotencia», y las contradicciones o absurdos que se desprenden de dicha idea. La paradoja se centra en analizar la contradicción de un Dios omnipotente que, debido a su omnipotencia, pueda ser capaz de limitarse a sí mismo. Afirmar esto llevaría a una contradicción, ya que si es omnipotente, no puede limitar su poder, y si puede limitar su poder, entonces no es omnipotente. Una versión moderna del argumento es conocida como paradoja de la omnipotencia y la piedra, la cual pregunta si Dios es capaz de crear una piedra tan pesada que ni siquiera él mismo sea capaz de levantar. Ambas respuestas llevan a contradicción, ya que si pudiera crearla, entonces dejaría de ser «omnipotente», y si no pudiera, entonces nunca fue «omnipotente».

Paradoja de Russell.

Se conoce como paradoja de Russell a un problema lógico-matemático que el filósofo británico Bertrand Russell plantó a partir de descubrir una contradicción en la teoría de conjuntos de los matemáticos Cantor y Frege. La teoría consiste en un método abstracto de organización de ideas en conjuntos, y los conjuntos en conjuntos mayores. Russell encuentra un problema con la noción de conjuntos de conjuntos que se contienen a sí mismos, al analizarlos encuentra un caso que no puede entrar en ninguno de los conjuntos (ni en los que se contienen a sí mismos, ni en los que no se contienen a sí mismos). Para ilustrarlo, esta paradoja suele representarse con la llamada paradoja del barbero:

«En un pequeño pueblo había un sólo barbero que afeitaba a todas las personas. El rey, al darse cuenta de la falta de barberos, promulgó una ley que decía que los barberos sólo podían afeitar a personas que no se puedan afeitar a sí mismas, y estableció que todo el mundo debía estar afeitado. Esto representaba un gran problema para el único barbero del pueblo, ya que su barba crecía y no podía afeitarse. Pues, él sí se puede afeitar a sí mismo, pero es barbero, por lo tanto, según la ley, no puede afeitarse, y como no hay otro barbero, nadie puede afeitarlo, pero al no afeitarse, también estaría desobedeciendo la orden del rey. Finalmente, al enterarse de la paradójica situación del barbero, el rey se regocijó y le concedió la mano de una de sus concubinas, por lo que el barbero vivió feliz y barbudo por el resto de los días».

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Aci, E. M. (6 de octubre de 2023). Definición de reductio ad absurdum. Características, estructura lógica y tipos. Definicion.com. https://definicion.com/reductio-ad-absurdum/